第1章 《有理数》专题培优

第一章 《有理数》专题培优

一、有关概念和性质 (一)有理数概念和分类

1.有理数按定义分为_______和_______两类;

2.有理数按性质分为__________、_____、_________三类.

3.______小数和_________小数都可以化成分数,它们是有理数;_________小数不能化成分数,不是有理数. (二)数轴(数形结合思想)

1.数轴的三要素:_______、________、_________.

2.一切有理数都可用数轴上的点来表示,但数轴上的点并不都表示有理数. 3.在数轴上表示数,它们从左向右的顺序,就是从____到_____的顺序. 练习与思考:

(1)数轴上表示整数的点称为整点. 某数轴的单位长度是1 cm,若在这条数轴上随意画出一条长为2015 cm的线段,则这条线段能盖住的整点的个数为_______________个.

(2)在数轴上任取一条长度为201519的线段,则此线段在这条数轴上最多

能盖住的整数点的个数是__________个. (三)相反数,倒数

例1. 填空: (1)a的相反数是_____,a?b的相反数是______,a?b的相反数是______. (2)相反数等于本身的数是______,倒数等于本身的数是_______.

(3)若a?b?0,ab?0,则ab?_______.

例2. 已知a,b互为相反数,c,d互为倒数,x的绝对值是2,求代数式

x2?(a?b?cd)x?(a?b)2016?(?cd)2017的值.

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(四)绝对值,非负数 1.绝对值的概念和性质:

(1)绝对值的几何意义:从数轴上看,a 就是_____________到_____的距离. (2)绝对值的代数意义:正数的绝对值等于_______________,负数的绝对值等于_______________,0的绝对值等于________.

?a???(a?用符号表示即:

a??0)?0???(a?0) 【化去绝对值符号的依据】 ???a?(a?0)(3)绝对值的性质:

①a?0(非负性); ②ab?a?b; ③

aab?b(b?0)

; ④a2?a2?a2;

⑤a?b?a?b.

(4)非负数的性质:①几个非负数的和仍为非负数;②非负数的最小值为0;

③若几个非负数的和为0,则每个非负数都等于0.

2.典型应用例题

(1)绝对值概念的运用 例1. 已知a?8,b?2,且a?b?b?a,求a?b?ab的值.

例2. 已知a?4,b?5,c?6,且a?b?c,求a?2b?3c的值. 例3. 已知x?3?5,(y?2)2?9,且x?y,求2x?y的值.

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(2)绝对值的非负性(非负数性质)

例1.已知x?3?y?1?(z?5)2?0,求代数式x?y?z的值.

例2.已知(ab?2)2与b?1互为相反数,求代数式的值:

1 ab?111(a?1)(b?1)?(a?2)(b?2)???(a?2015)(b?2015).

例3*. 已知a,b,c为整数,且|a?b|2007?|c?a|2007?1,求代数式的值: |c?a|?|a?b|?|b?c|.

思考:已知b为正整数,且2a?5?b?1,则a?______,b?_______.

(3)绝对值的化简

例1. 填空:(1)如果a?a,那么a______0;如果a??a,那么a______0. (2)已知x??2,化简1?1?x?__________.

(3)已知x?3?3?x,则x的取值范围是_____________. (4)如果a??a,化简a?1?a?2?__________.

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例2.已知a,b,c在数轴上的位置如图,化简:a?a?b?c?a?b?c.

例3.(1)已知x?x?2,求代数式19x99?3x?27的值.

(2)已知(a?b)2?b?5?b?5,且2a?b?1?0,求代数式1?ab2的值.

例4.化简:x?1?x?3. 【零点分段法+分类讨论思想】

例5.已知有理数a,b,c满足abc?0,求代数式|a||ba?||c|b?c的值.

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变式练习:

1.有理数a,b,c满足abc?0,a?b?c?0,则

abcabca?b?c?abc?______. 2.如果a,b,c是非零有理数,且a?b?c?0,那么

abcabca?b?c?abc的所有可能的值为________________.

3.已知有理数a,b,c均不为0,且a?b?c?0,设x?abb?c?c?a?ca?b,

则代数式x19?99x?2015的值为____________.

例6. 如果x?5?x?2?7,求x的取值范围.

(4)绝对值与数轴上两点距离的表示 例1.填空:

(1)在数轴上,表示?4和3的两个点的距离是_______,表示?8与?5的两个点的距离是________.

(2)一般地,在数轴上表示数a,b的两点之间的距离是____________. (3)若数轴上的点A表示的数为x,点B表示的数为?1,则A与B两点间的距离可以表示为____________.

(4)要求等式x?3?5中的x的值,也可以理解为已知数轴上表示数x和3的两点的距离是5,求这个数x. 因为数轴上到3的距离是5的点有_____和____两个,所以x?_____________.

(5)结合数轴可以求得x?2?x?3的最小值为______,这时x的取值范围是______________.

(6)满足x?1?x?4?3的x的取值范围是_______________. (5)绝对值的最值问题 例1.填空: (1)当x?______时,x?5有最_____值是________.

(2)当x?______时,(x?3)2有最_____值是________.

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(3)当x?______时,?x?2有最_____值是________. (4)当x?______时,?(x?8)2有最_____值是________. (5)当x?______时,2x?3?5有最_____值是________. (6)当x?______时,8?x?5有最_____值是________. 例2.填空:

(1)当x______________时,x?1?x?5有最小值是_______. (2)当x______________时,x?5?x?2?x?4有最小值是_______.

(3)当x____________时,x?1?x?2?x?3?x?4有最小值是______. (4)当x_________________时,代数式x?1?x?7有最大值是______;

而当x_________时,x?1?x?7有最小值是______.

例3.已知(x?1?x?2)(y?2?y?1)(z?3?z?1)?36,求x?2y?3的最大

值和最小值.

(五)科学记数法、近似数

练习:1.近似数1.70所表示的准确数x的取值范围是_______________.

2.用四舍五入法把4.036精确到0.01的近似值是_________,把3085000精确到万位的近似值是____________.

二、有理数的运算

(一)有理数的加、减、乘、除和乘方运算法则及易错点警示

例.计算:(1)?5?1?______;(2)0?3?_______;(3)(?3)4?________;(4)?34?________;(5)(?1)2016?________;(6)?12016?__________;

?2?22(7)?22??5???__________;(8)???2??5???_______;(9)?5?________.

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(二)有理数的混合运算及简便运算

1.常规混合运算需熟练掌握【易错警示:符号、顺序、乘方意义】

例.计算:(1)?12014?(1?0.25)?1?[3?(?3)23]

(2)?14????(1?0.5)?123???10?(?2)???(?1)3???

2.加法、乘法运算律的灵活运用(简便运算)

(1)加法:相反数结合;同分母结合;凑整结合;同号结合等. (2)乘法:重点是分配律及其逆用

例.计算:(1)?4.035?12?7.535?12?36?(79?56?718)

(2)????4948?49???98

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3.乘方概念的深刻理解和灵活运用

20152016 例.计算:(1)???3?????2??? (2)(?2)1999?(?2)2000?2??3

(三)有理数运算中的特殊技巧 1.高斯算法【用公式:(首项+末项)?项数?2; 或用倒序相加法】 例.计算:(1)1?2?3???99?100 (2)1?3?5???2013?2015

(3)2?6?10?14???2010?2014

2.正负相消 例.计算:(1)1?2?3?4???99?100

(2)1?2?3?4?5?6?7?8?9???2013?2014?2015?2016

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3.倍比相消

例.计算:(1)1?2?22?23???2100

(2)1?3?32?33???32016

4.裂项相消

例.计算:(1)1111?2?2?3?3?4???199?100

(2)21?3?23?5?25?7???22013?2015

(3)?51?4?54?7?57?10???52011?2014

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5.整体换元

例.计算:(1-1111111112-3-?-2003)(2+3+4+?+2003+2004)-(1-

2-13-?-111112004)(2+3+4+?+2003)

练习与思考:计算:

(1)12+(13+23)+(123123414+4+4)+(5+5+5+5)+ ? +(

50+250+?+4850+4950). (2)20071111112?20063?20052?20043??12?3.

(3)52?91733651294?8?16?32?64?13. 2 4)1?2222?3232?4210032?1004210042?10052(1?2?2?3?3?4?...?1003?1004?1004?1005. (5)22?132?142?199222?1?32?1?42?1????1992?1. (6)11111?2?1?2?3?1?2?3?4???1?2?3???100.

(7)32+4+6+???+104+32+4+6+???+106+32+4+6+???+108+32+4+6+???+206.

1111

(8)2320051?1?2(1?12)(1?1?3)(1?142)(1?1???. 3)(1?11114)(1?2)(1?3)...(1?2005) (9)11?3?5?13?5?7???117?19?21.

(10)(1?11?3)(1?12?4)(1?13?5)?(1?11998?2000)(1?11999?2001)

(11)2?22?23?24?25?26?27?28?29?210

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三、找规律

(一)数式规律

例1.将正奇数按下表排成5列:

第一列 第二列 第三列 第四列 第五列

第一行 1 3 5 7 第二行 15 13 11 9

第三行 17 19 21 23 第四行 31 29 27 25

? ? ?

根据上面规律,2007应在第_________行________列. 例2.将正偶数按下表排成5列

第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第一行 2 4 6 8 第二行 16 14 12 10 第三行 18 20 22 24 ?? ?? 28 26 根据上面的规律,则2006应在 行 列. 例3.给出下列算式:

32?12?8?152?32?8?2 72?52?8?3

92?72?8?4?????观察上面算式的规律,第n个(n为正整数)等式为:__________________. 例4.观察下面数列,用含n的代数式表示出第n个数:

(1)1,?2,3,?4,5,?;第n个数可表示为________________; (2)?1,2,?3,4,?5,?;第n个数可表示为________________;

(3)2,?5,10,?17,26,?;第n个数可表示为______________. 归纳:奇负偶正,用________?绝对值;奇正偶负,用________?绝对值. 例5. 计算32001?72002?22003所得结果的末位数字是____________. (二)图形规律

例1.用棋子摆成如图所示的“T”字图案. (1)摆成第一个“T”字需要 个棋子,第二个图案需要 个棋子;(2)按这样的规律摆下去,摆成第10个“T”字需要 个棋子,一般 第11页(共 12页)

地,第n个图案需要____________个棋子.

例2.如图是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字,按照这种规律, 第5个“广”字中棋子个数是 ,第n个“广”字中棋子个数为 _ .

例3.将一些半径相同的小圆按如图所示规律摆放:第1个图形有6个小圆, 第2个图形有10个小圆,第3个图形有16个小圆,第4个图形有24个小圆,??,依此规律,第6个图形有_____个小圆; 第n个图形有____________个小圆.

?

第1个图形

第2个图形 第3个图形 第4个图形

例4.观察下列图形,则第n个图形中三角形的个数是__________.

??

第1个

第2个

第3个

例5.如图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子.观察图形的变化规律,写出第n个小房子用了____________块石子.

四、定义新运算 例.定义一种新运算“*”:a?b?aba2?b2,求(?3)?[2?(?1)]的值.

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