【奥数】六年级奥赛专题小升初专题讲座

第一讲 行程问题 ............................................................................................................ - 1 -

1.1 追及与相遇 ........................................................................................................ - 1 - 1.2 环形路上的行程问题 ........................................................................................ - 7 - 1.3 稍复杂的问题 .................................................................................................. - 12 - 第二讲 和、差与倍数的应用题 ...................................................................................... - 18 -

2.1 和差问题 .......................................................................................................... - 18 - 2.2 倍数问题 .......................................................................................................... - 21 - 2.3 盈不足问题 ...................................................................................................... - 25 - 第三讲 数论的方法技巧之一 .......................................................................................... - 29 -

3.1 利用整数的各种表示法 .................................................................................. - 30 - 3.2 枚举法 .............................................................................................................. - 32 - 3.3 归纳法 .............................................................................................................. - 34 - 第四讲 数论的方法技巧之二 .......................................................................................... - 37 -

4.1 反证法 .............................................................................................................. - 37 - 4.2 构造法 .............................................................................................................. - 38 - 4.3 配对法 .............................................................................................................. - 39 - 4.4 估计法 .............................................................................................................. - 41 - 第五讲 整数问题之一 ................................................................................................ - 43 -

5.1 整除 .................................................................................................................. - 43 - 5.2 分解质因数 ...................................................................................................... - 48 - 5.3 余数 .................................................................................................................. - 53 - 第六讲 图形面积 ............................................................................................................ - 60 -

6.1 三角形的面积 .................................................................................................. - 60 - 6.2 有关正方形的问题 .......................................................................................... - 64 - 6.3 其他的面积 ...................................................................................................... - 68 - 第七讲 工程问题 ............................................................................................................ - 72 -

7.1 两个人的问题 .................................................................................................. - 73 - 7.2 多人的工程问题 .............................................................................................. - 77 - 7.3 水管问题 .......................................................................................................... - 81 - 第八讲 比和比例关系 .................................................................................................... - 87 -

8.1 比和比的分配 .................................................................................................. - 87 - 8.2 比的变化 .......................................................................................................... - 93 - 8.3 比例的其他问题 .............................................................................................. - 97 - 第九讲 经济问题 .......................................................................................................... - 104 - 第十讲 溶液问题 .......................................................................................................... - 109 - 第十一讲 简单几何体的表面积与体积的计算 .......................................................... - 114 -

11.1 四种常见几何体的平面展开图 .................................................................. - 114 - 11.2 四种常见几何体表面积与体积公式 .......................................................... - 115 - 11.3 例题选讲 ...................................................................................................... - 116 - 第十二讲 循环小数化分数 .......................................................................................... - 123 -

12.1 纯循环小数化分数 ...................................................................................... - 123 - 12.2 混循环小数化分数 ...................................................................................... - 124 - 12.3 循环小数的四则运算 .................................................................................. - 125 - 第十三讲 估计与估算 .................................................................................................. - 127 -

第十四讲 列方程解应用题 .......................................................................................... - 134 -

14.1 列简易方程解应用题 .................................................................................. - 134 - 14.2 引入参数列方程解应用题 .......................................................................... - 138 - 14.3 列不定方程解应用题 .................................................................................. - 140 -

第一讲 行程问题

走路、行车、一个物体的移动,总是要涉及到三个数量:

距离走了多远,行驶多少千米,移动了多少米等等; 速度在单位时间内(例如1小时内)行走或移动的距离; 时间行走或移动所花时间.

这三个数量之间的关系,可以用下面的公式来表示:

距离=速度×时间

很明显,只要知道其中两个数量,就马上可以求出第三个数量.从数学上说,这是一种最基本的数量关系,在小学的应用题中,这样的数量关系也是最常见的,例如

总量=每个人的数量×人数. 工作量=工作效率×时间.

因此,我们从行程问题入手,掌握一些处理这种数量关系的思路、方法和技巧,就能解其他类似的问题.

当然,行程问题有它独自的特点,在小学的应用题中,行程问题的内容最丰富多彩,饶有趣味.它不仅在小学,而且在中学数学、物理的学习中,也是一个重点内容.因此,我们非常希望大家能学好这一讲,特别是学会对一些问题的思考方法和处理技巧.

这一讲,用5千米/小时表示速度是每小时5千米,用3米/秒表示速度是每秒3米

1.1 追及与相遇

有两个人同时在行走,一个走得快,一个走得慢,当走得慢的在前,走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上,要算走得快的人在某一段时间内,比走得慢的人多走的距离,也就是要计算两人走的距离之差.如果设甲走得快,乙走得慢,在相同时间内,

甲走的距离-乙走的距离

= 甲的速度×时间-乙的速度×时间 =(甲的速度-乙的速度)×时间. 通常,“追及问题”要考虑速度差.

例1 小轿车的速度比面包车速度每小时快6千米,小轿车和面包车同时从学校开出,沿着同一路线行驶,小轿车比面包车早10分钟到达城门,当面包车到达城门时,小轿车已离城门9千米,问学校到城门的距离是多少千米?

解:先计算,从学校开出,到面包车到达城门用了多少时间.

此时,小轿车比面包车多走了9千米,而小轿车与面包车的速度差是6千米/小时,因此

所用时间=9÷6=1.5(小时).

小轿车比面包车早10分钟到达城门,面包车到达时,小轿车离城门9千米,说明小轿车的速度是

面包车速度是 54-6=48(千米/小时). 城门离学校的距离是

48×1.5=72(千米).

答:学校到城门的距离是72千米.

例2 小张从家到公园,原打算每分种走50米.为了提早10分钟到,他把速度加快,每分钟走75米.问家到公园多远? 解一:可以作为“追及问题”处理.

假设另有一人,比小张早10分钟出发.考虑小张以75米/分钟速度去追赶,追上所需时间是

50 ×10÷(75- 50)= 20(分钟)·

因此,小张走的距离是

75× 20= 1500(米).

答:从家到公园的距离是1500米. 还有一种不少人采用的方法.

家到公园的距离是

一种解法好不好,首先是“易于思考”,其次是“计算方便”.那么你更喜欢哪一种解法呢?对不同的解法进行比较,能逐渐形成符合你思维习惯的解题思路.

例3 一辆自行车在前面以固定的速度行进,有一辆汽车要去追赶.如果速度是30千米/小时,要1小时才能追上;如果速度是 35千米/小时,要 40分钟才能追上.问自行车的速度是多少?

解一:自行车1小时走了

30×1-已超前距离,

自行车40分钟走了

自行车多走20分钟,走了

因此,自行车的速度是

答:自行车速度是20千米/小时.

解二:因为追上所需时间=追上距离÷速度差

1小时与40分钟是3∶2.所以两者的速度差之比是2∶3.请看下面示意图:

马上可看出前一速度差是15.自行车速度是

35- 15= 20(千米/小时).

解二的想法与第二讲中年龄问题思路完全类同.这一解法的好处是,想清楚后,非常便于心算.

例4 上午8点8分,小明骑自行车从家里出发,8分钟后,爸爸骑摩托车去追他,在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家,到家后又立刻回头去追小明,再追上小明的时候,离家恰好是8千米,这时是几点几分? 解:画一张简单的示意图:




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